Définition :
Soit \(U\) un ouvert de \({\Bbb R}^n\) et \(f:U\to{\Bbb R}^n\) de classe \(\mathcal C^1\)
Si \(\forall x\in U\), \(df(x)\) est surjective, alors on dit que \(f\) est une submersion
Définition :
Soit \(U\) un ouvert de \({\Bbb R}^n\) et \(f:U\to{\Bbb R}^n\) de classe \(\mathcal C^1\)
Si \(\forall x\in U\), \(df(x)\) est injective, alors on dit que \(f\) est une immersion
Propriétés
Submersion/immersion locale
Proposition :
Soit \(U\) un ouvert de \({\Bbb R}^n\) et \(f:U\to{\Bbb R}^p\) \(\mathcal C^1\)
On supposequ'il existe \(a\in U\) tel que \(df(a)\) soit surjective
Alors il existe \(U_a\in\mathcal V(a)\) ouvert tq \(f\) soit une submersion sur \(U_a\)
On parle de submersion locale
Proposition :
Soit \(U\) un ouvert de \({\Bbb R}^n\) et \(f:U\to{\Bbb R}^p\) \(\mathcal C^1\)
On supposequ'il existe \(a\in U\) tel que \(df(a)\) soit injective
Alors il existe \(U_a\in\mathcal V(a)\) ouvert tq \(f\) soit une immersion sur \(U_a\)
On parle de immersion locale
